प्रतिवर्ती कोण: परिभाषा, कितने डिग्री और उदाहरण

प्रतिवर्ती कोण वे कोण हैं जिन्हें खिलाड़ी सबसे ज़्यादा चूकते हैं: आँख दो किरणों के बीच की छोटी फाँक पर जा टिकती है और बाहर घूमते लंबे चाप को अनदेखा कर देती है। उस चाप को पढ़ना सीख लेना ही पूरी तरकीब है, और यह पेज ठीक इसी बारे में है।

प्रतिवर्ती कोण क्या है?

प्रतिवर्ती कोण बड़ा वाला कोण है: 180° से ज़्यादा और 360° से कम, जिसे दोनों भुजाओं के भीतर से नहीं, बाहर की ओर से मापा जाता है। किरणों का हर जोड़ा दो कोण बनाता है जिनका योग 360° होता है; इनमें से बड़ा कोण प्रतिवर्ती है, जिसे आप शीर्ष के चारों ओर लंबे रास्ते से घूमकर पाते हैं। चित्र में यह ऐसे चाप के रूप में दिखता है जो आधे से ज़्यादा घेरा घूम जाता है।

प्रतिवर्ती कोण कितने डिग्री का होता है?

180° और 360° के बीच, दोनों सीमाएँ छोड़कर: 181° से 359° तक। इसे पढ़ने का सबसे आसान तरीक़ा है भीतर वाले छोटे कोण को मापकर 360° में से घटा देना; भीतर 90° की फाँक हो तो प्रतिवर्ती कोण 270° का है। ठीक 180° सरल कोण है, और 360° एक पूरा चक्कर, जिसमें किरणों के बीच कोई फाँक ही नहीं बचती।

पूरे दायरे में उदाहरण

प्रतिवर्ती कोण 181° (सपाट से बस ज़रा आगे) से 359° (क़रीब एक पूरा घुमाव, बस एक झिरी कम) तक चलते हैं। पाँच ठेठ नमूने:

सबसे आसानी से मन में लाया जाने वाला प्रतिवर्ती कोण 270° है: वृत्त का तीन-चौथाई, समकोण का लंबे-रास्ते वाला जुड़वाँ। एक ओर 90° घूमें या दूसरी ओर 270°, दोनों से आप एक ही दिशा में मुँह किए रह जाते हैं। 287° जैसे तीखे प्रतिवर्ती कोण एक नज़र में पढ़ना कहीं ज़्यादा मुश्किल है।

चित्र में प्रतिवर्ती कोण कौन-सा है?

E (240°) प्रतिवर्ती कोण है: इसका चाप लंबे रास्ते से, D (180°) की सीधी रेखा के पार, खींचा गया है। A (45°, न्यून) और C (120°, अधिक) भीतर की ओर मापे गए हैं और 180° से नीचे रहते हैं, और B (90°) समकोण है।

न्यून, समकोण, अधिक, सरल और प्रतिवर्ती कोण

360° की जोड़ी का नियम

हर प्रतिवर्ती कोण का उसी शीर्ष पर बैठा एक न-प्रतिवर्ती साथी होता है। दोनों को जोड़ें और आप हमेशा 360° पर पहुँचते हैं:

• 200° (प्रतिवर्ती) 160° (अधिक) से जोड़ी बनाता है
• 240° (प्रतिवर्ती) 120° (अधिक) से जोड़ी बनाता है
• 270° (प्रतिवर्ती) 90° (समकोण) से जोड़ी बनाता है
• 300° (प्रतिवर्ती) 60° (न्यून) से जोड़ी बनाता है
• 340° (प्रतिवर्ती) 20° (न्यून) से जोड़ी बनाता है

यही जोड़ी बताती है कि प्रतिवर्ती कोण क्यों ग़लत पढ़े जाते हैं। आँख मिली-सेकंडों में छोटी फाँक पर टिक जाती है और लंबे चाप का पीछा करने से बचती है। ध्यान को शीर्ष की पिछली ओर, ज़रूरत हो तो उँगली से, ज़बरदस्ती घुमाना ही व्यावहारिक उपाय है।

रोज़मर्रा में प्रतिवर्ती कोण

• किसी तारे या तीर पर हर भीतरी खाँच: उस शीर्ष पर एक प्रतिवर्ती कोण बैठा होता है।
• एक घड़ी का डायल, 12 से दक्षिणावर्त 9 तक, ठीक 270° मापता है।
• पैक-मैन का मुँह क़रीब 90° की फाँक है; शरीर उससे मेल खाता 270° प्रतिवर्ती बनाता है।
• बग़ल से देखा गया सैटेलाइट डिश, या किनारे से देखा कोई भी कटोरे जैसा आकार।
• पाँच-नोक वाले तारे की भीतर-की-ओर की खाँच, क़रीब 252°।

प्रतिवर्ती कोणों का अनुमान लगाना कठिन क्यों है

न्यून बनाम अधिक आसान है: कोने से पतला, कोने से चौड़ा, और दिमाग़ इसे बिना मेहनत संभाल लेता है। प्रतिवर्ती कोण अलग बर्ताव करते हैं। आँख हर बार आकृति के छोटे रूप की ओर लौट पड़ती है। एक 240° प्रतिवर्ती और एक 120° अधिक ठीक वही दो किरणें साझा करते हैं, इसलिए लापरवाह पठन डिफ़ॉल्ट रूप से अधिक वाला मान दे देता है।

भरोसेमंद तरकीब: छोटे कोण को मापें और 360° में से घटाएँ। अगर भीतर 90° जैसा दिखे, तो प्रतिवर्ती 270° है। तरीक़ा यांत्रिक है, पर काम करता है। इसका अभ्यास Angledle असीमित पर करें, जहाँ लगभग आधी यादृच्छिक पहेलियाँ प्रतिवर्ती दायरे में आती हैं। रोज़ की पहेली हफ़्ते में क़रीब एक प्रतिवर्ती देती है, जो पैटर्न बिठाने के लिए काफ़ी मात्रा नहीं है।

बहुभुजों के भीतर प्रतिवर्ती कोण

कम-से-कम एक प्रतिवर्ती अंतःकोण वाला बहुभुज अवतल (जिसे “न-उत्तल” भी कहते हैं) होता है। तारे, तीर, और अक्षर L सब अवतल हैं। वह बहुभुज जिसका हर अंतःकोण 180° या उससे नीचे रहे, उत्तल होता है। एक कोण को 180° के पार धकेलना आकृति को अवतल क्षेत्र में झुका देता है।

त्रिभुज अवतल नहीं हो सकते। उनके तीनों अंतःकोण जुड़कर ठीक 180° बनाते हैं, जिससे किसी एक कोण के लिए उस सीमा को पार करने की जगह नहीं बचती। अवतलता केवल चतुर्भुज से ऊपर ही संभव हो पाती है।

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